극댓값과 극솟값

극댓값, 극솟값, 극값, 극점

함수 $y=f(x)$의 정의역이 $D$이고, $c \in D$라고 하자.

1. 점 $c$의 근방의 모든 $x \in (a, \ b)$에 대하여

   $f(c) \ge f(x)$이면 $f(c)$를 함수 $f$의 극댓값(local maximum)이라고 한다.

2. 점 $c$의 근방의 모든 $x \in (a, b)$에 대하여

   $f(c) \le f(x)$이면 $f(c)$를 함수 $f$의 극솟값(local minimum)이라고 한다.

3. 극댓값 또는 극솟값인 $f(c)$를 함수 $f$의 극값이라고 하고 점 $(c, f(c))$를 극점이라고 한다.

임계점

함수 $f$의 정의역 안에 있는 점 $c$에 대하여 $f^\prime(c)=0$이거나 $f^\prime(c)$가 존재하지 않을 때 점 $c$를 $f$의 임계점(critical point)이라고 한다.

임계점 정리

$f(c)$가 함수 $f$의 극값이면 $c$는 $f$의 임계점이다.

역은 성립하지 않는다.

극값의 판정

일계도함수 판정법

함수 $f$는 구간 $(a, \ b)$에서 미분가능하고 점 $c \in (a,\ b)$가 $f$의 임계점이라고 하자.

1. $f^\prime(x)$의 부호가 $c$ 근방에서 양에서 음으로 바뀌면 $f(c)$는 극댓값이다.
2. $f^\prime(x)$의 부호가 $c$ 근방에서 음에서 양으로 바뀌면 $f(c)$는 극솟값이다.
3. $f^\prime(x)$의 부호가 $c$ 근방에서 부호의 변화가 없으면 $f(c)$는 극값이 아니다.

이계도함수 판정법

함수 $f$가 이계미분가능하고 $f^\prime(c) = 0$이라고 하자.

1. $f^{\prime\prime}(c) < 0$이면 $f(c)$는 극댓값이다. (접선의 기울기가 갈수록 감소하므로)
2. $f^{\prime\prime}(c) > 0$이면 $f(c)$는 극솟값이다. (접선의 기울기가 갈수록 증가하므로)
3. $f^{\prime\prime}(c) = 0$이거나 $f^{\prime\prime}(c)$가 존재하지 않는 경우에는 판정할 수 없다.

최댓값과 최솟값

함수 $f$의 정의역이 $D$이고, $a \in D$라고 하자.

1. 모든 $x \in D$에 대하여

   $f(a) \ge f(x)$이면 $f(a)$을 함수 $f$의 최댓값이라고 한다.

2. 모든 $x \in D$에 대하여

   $f(a) \le f(x)$이면 $f(a)$을 함수 $f$의 최솟값이라고 한다.

3. 최솟값 또는 최솟값인 $f(a)$을 함수 $f$의 절대극값이라고 한다.

출처 : 미적분학 기초(북스힐)