1. 영역의 넓이

구간 $[a, b]$에서 정의된 함수 $f$에 대하여 $f$가 $[a, b]$에서 연속이고 $f \ge 0$이면 $x=a, \ x=b$와 $y=f(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이

$$A = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1}f(x^*_i)\Delta x_i$$

이다.

2. 정적분

구간 $[a, b]$에서 정의된 함수 $f$에 대하여 리만합의 극한

$$\lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1}f(x^*_i)\Delta x_i \ \ (\text{단, } x^*_i \in [x_{i-1},x_i],\ i=1,2,\cdot\cdot\cdot,n)$$

이 존재할 때 $f$는 구간 $[a, b]$에서 적분가능 하다고 한다. 이 때 극한

$$\lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1}f(x^*_i)\Delta x_i = \int_a^b f(x) dx$$

로 표기하며 함수 $f$의 구간 $[a, b]$에서의 정적분 이라고 한다. 이때 $a , b$를 적분한계 라 한다.

3. 정적분의 성질

함수 $f$와 $g$가 구간 $[a, b]$에서 적분가능하고 $k$가 임의의 상수일 때 다음이 성립한다.

1. $\int_a^a f(x) dx = 0$
2. $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x)dx$
3. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$
4. $\int_a^b kf(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$
5. $\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$

4. 적분가능성에 대한 정리

함수 $f$가 구간 $[a, b]$에서 연속이면 적분가능하다.

5. 적분의 비교성

모든 $x \in [a,b]$에 대하여 $g(x) \le f(x)$이고 $f$와 $g$가 적분가능하면

$$\int_a^bg(x)dx \le \int_a^b f(x)dx$$

이다.

출처 : 미적분학 기초(북스힐)